功和能    是过渡性的一节，目的在于阐述本章的基本线索，使同学知道如何定量地研究机械能，为后面两节定量地讲述动能和重力势能作好准备.

在学习中将涉及到部分初中学过的物理知识，课本通过实例说明做功的过程是能量转化的过程，做了多少功，就有多少能量发生转化，功是能量转化的量度.知道了功和能的这种关系，就可以通过做功的多少，定量地研究能量及其转化的问题.同学们在对这个问题的理解，要有一个过程.要通过这一章的学习以及今后的学习，逐步加深体会.

动能定理       学习本节内容的要求为：1.理解动能的概念，会用动能的定义式进行计算.2.理解动能定理.知道动能定理的适用条件，会用动能定理进行计算.3.理解动能定理的推导过程.4会用动能定理解决力学问题，知道用动能定理解题的步骤.

[重点难点分析]

重点

1．动能的概念及其公式

2．动能定理及其应用

难点

用动能定理求变力做功

[学习思路]

【基本知识】

1功和能是两个联系密切的物理量.一个物体能够对外做功，这个物体就具有能量，能量总是与物体的某一运动状态相联系，并且与运动状态存在一一对应的关系。所以，能量由物体的运动状态决定，能量是状态量。

各种不同形式的能量可以相互转化，而且在转化过程中守恒.做功的过程就是能量转化的过程，要定量地确定能量，一般不是从运动状态出发，而是从运动状态的改变出发。因为只有在能量发生转化、转移、释放或吸收时才便于测量它。因此，我们可以用做功的多少来确定能量变化的多少。一个物体做了多少功，它的能量就变化多少。所以，功是能量转化的量度.知道了功和能的这种关系，就可以通过做功的多少，定量地研究能量及其转化的问题.

2.在国际单位制中，能量的单位和功相同，都是焦耳。能量不能脱离物体而单独存在。并且与物体的质量相对应。

3. 动能    物体由于运动而具有的能量叫做动能。它与物体的运动速度及质量有关.表示为：                             E_K=mv²/2

式中m是物体的质量，v是物体速度（瞬时速度）的大小，E_K表示物体的动能。动能是标量，且恒为正值，同一物体速度方向变化，但如果速度大小始终不变，其动能就不变。例如：做匀速圆周运动的物体的动能就不发生变化。以地面做参照计算物体的动能。人坐在正在行驶的火车上，相对火车人的速度为零，但相对地面，人的速度不是零，所以人的动能也不是零。

4.动能的单位与功的单位相同，在国际单位制中都是焦耳.这是因为，lkg·m²/s²=lN·m=lJ.

5.动能定理           表述功和动能关系的规律。对单个物体，动能定理可表述为：外力对物体所做的总功等于物体动能的变化，即

W=mv₂²/2-mv₁²/2

上式表示，外力所做的功等于动能的变化.当外力做正功时，末动能大于初动能，动能增加.当外力做负功时.末动能小于初动能，动能减少.

    如果物体受到几个力的共同作用，则上式中的w表示各个力做功的代数和，即合力所做的功.              合力所做的功等干物体动能的变化.

这个结论叫做动能定理.

6.动能定理适用的范围：

W=mv₂²/2-mv₁²/2     中做功的力，既可以是重力、弹力、摩擦力，也可以是任何其他的力.  W=mv₂²/2-mv₁²/2     是在物体受到恒力的作用，且物体做直线运动的情况下得到的.可以证明，当力是变力，物体做曲线运动时，也是正确的.这时式中的W为变力所做的功，正因为动能定理适用于变力，所以它得到了广泛的应用，经常用来解决有关的力学问题.

学习中的注意问题：

1.动能定理实际上是一个质点的功能关系，它贯穿于这一章教材，是这一章的重点.

2.课本在讲述动能和动能定理时.没有把二者分开讲述，而是以功能关系为线索，同时引人了动能的定义式和动能定理.这样叙述、思路简明，能充分体现功能关系这一线索.考虑到初中已经讲过动能的概念，这样叙述，比较容易接受，而且可以提高学习效率.

3.为了在学习中能够加深理解动能定理的推导过程，建议同学们独立练习进行推导，这样做，可以加深对功能关系的认识，提高推导能力.

4.学习中应当注意动能定理的适用条件，能够知道不论外力是否为恒力，也不论物体是否做直线运动.动能定理都成立.

5.本节安排的例题，是为了帮助了解应用动能定理的解题过程。并且通过例题的解知道利用动能定理解力学问题.要分析物体的受力情况，列出各个力所做的功，要明确物体的初动能和末动能.然后利用动能定理求解.

6.为了了解物理规律之间的联系，可以利用牛顿运动定律和运动学的公式求解同一问题.并进行比较.这样，可以体会到应用动能定理解题.不涉及物体运动过程中的加速度和时间，因此用它来处理问题有时比较方便，增加灵活应用物理规律研究问题的能力。

[学法指导]

做功与物体动能的变化和加速度与速度的关系是从两个不同的角度研究运动物体的性质，所以它们之间存在着一定的关系.在实际问题的研究中可以选择其中任意一种方式进行解题.

动能：物体由于运动而具有的能量．物体的动能等于它的质量跟它的速度平方的乘积的一半．其中，速度是指物体对地的瞬时速度，与物体的运动性质无关．

   动能定理：外力对物体做的总功等于物体动能的增加．即．动能定理一般只处理单个物体问题，所以重力的功同样要考虑（对单个物体而言，重力是外力）．

当物体受到几个力作用时，计算总功的方法：

（1）先求合力，再由W＝F_合Scosα求解，其中α为F_合与S夹角。

（2）先分别求各个外力的功：W₁＝F₁Scosα；W₂＝F₂Scosα；……，再把各个外力的功代数相加。

【警示常见误区】

1.合外力对物体不做功时，仅能说明物体的动能保持不变，不能够说明物体的动量不变和运动加速度为零.

2.在利用动能定理解题时，如果研究的对象是两个以相同加速度运动的物体时需要注意区分物体受到的外力和内力，不要错误地将物体受到的的内力当作外力求其做功；如果两个物体运动的加速度不同时，则不宜采用动能定理研究其运动规律

[同步练习]

【例题研究】

［例1］如图所示，AB为圆弧轨道，BC为水平直轨道，圆弧的半径为R，BC的长度也是R．一质量为m的物体，与两个轨道间的动摩擦因数都为，当它由轨道顶端A从静止开始下落，恰好运动到C处停止，那么物体在AB段克服摩擦力所做的功为

A.     B. C      D.

 [思维技巧]本题考察：用动能定理求摩擦力（变力）做功

物体从A运动到B所受的弹力要发生变化，摩擦力大小也要随之变化，所以克服摩擦力所做的功不能直接由做功公式求得．而在BC段克服摩擦力所做的功可直接求得．对从A到C全过程运用动能定理，即可求出物体在AB段克服摩擦力所做的功。

设物体在AB段克服摩擦力所做的功，对物体从A到C全过程运用动能定理有

所以有

[答案] D

[激活思维]解答此题的思维活动有：在某些问题中由于力F的大小变化或方向变化，所以不能直接由W＝FScosα求出变力F的功，此时可有其做功的结果—动能的变化来求变力F所做的功

［例2］如图所示，分别用力、、将质量为的物体A由静止沿同一光滑斜面以相同的加速度从斜面底端拉到斜面的顶端，在此过程中、、的平均功率分别为、、，则

A．==          B。〉= 

 C．〉〉      D.<<

 [思维技巧] 本题考察：动能定理的应用

分析作为研究对象的物体A，在每种情况中都受到重力、斜面支持力和F的作用，每一个运动过程的初始状态、位移及加速度都相同，所以末状态相同，末动能相同，动能增量相等，由动能定理可知，每一个过程中的合力所做的功相同．三种情况中，支持力对物体都不做功，重力做功相等，总功又相等，所以F做功也必相等．又因位移和加速度相同，所以运动时间相等，平均功率必相等．

[答案] A

[激活思维] 解答此题的思维活动有：(1)在加速直线运动中，一个恒力的功率与速度的大小成正比，所以这一问题也可以从力与平均速度的乘积求得平均功率P，再比较三种情况中的异同点，也可得出正确选项．但这一方法不及本解法简单明了(2)用动能定理解题仍要分析物体的受力情况，但受力分析的目的是要知道各个力的做功情况。

[例3]小球质量为m，在距地面h处以速度v竖直上抛．空气阻力为f(f＜mg)设小球与地面碰撞不损失能量，直至小球静止，求小球在整个过程中通过的路程．

[思维技巧] 本题考察：动能定理的应用和摩擦力、重力做功的特点

由于小球克服阻力做功，机械能不断减小，最终停在地面上．如果考虑到重力做功与路径无关，而阻力总是与运动方向相反，它们所做的功可分别写成和（其中s就是小球在整个过程中通过的路程）。

[解答]根据动能定理有

所以  

[激活思维] 解答此题的思维活动有：（1）如果按下落和上升分段计算，那将是无数次，非常麻烦（2）用动能定律则只要一个式子就可以解决问题，且非常简明扼要，原因就是因为用动能定理不需要涉及过程的每一个细节，在明了做功情况的前提下，只要考虑初末状况的动能就行了，这就是动能定理的优越性。

 [例4]如图所示，光滑水平面AB与竖直面内的半圆形导轨在B点衔接，导轨半径为R，一个质量为m的静止物块在A处压缩弹簧，在弹力的作用下获某一向右速度，当它经过B点进入导轨瞬间对导轨的压力为其重力的7倍，之后向上运动恰能完成半圆周运动到达C点，求：

（1）弹簧对物块的弹力做的功

（2）物块从B至C克服阻力做的功

（3）物块离开C点后落回水平面时动能的大小

  [思维技巧] 本题考察：动能定理的综合应用                                           

物块的运动可分为以下四个阶段：①弹簧弹力做功阶段；②离开弹簧后在 AB段的匀速直线运动阶段；③从B到C所进行的变速圆周运动阶段；     

④离开C点后进行的平抛运动阶段。弹黄弹力是变化的，求弹簧弹力的功可根据效果——在弹力作用下物块获得的机械能，即到达B点的动能求解。物块从B至C克服阻力做的功也是变力，同样只能根据B点和C点两点的机械能之差判断。因此求出物块在B点和C点的动能是关键。可根据题设条件：“进入导轨瞬间对导轨的压力为其重力的7倍”、“恰能到达C点”，求出、。

[解答] 物块在B点时受力mg和导轨的支持力N＝7mg。由牛顿第二定律，有

物块到达C点仅受重力mg，据牛顿第二定律，有

（1）根据动能定理，可求得弹簧弹力对物体所做的功为

（2）物体从B到C只有重力和阻力做功，根据动能定理，有

即物体从B到C克服阻力做的功为0．5mgR

（3）物体离开轨道后做平抛运动，仅有重力做功，机械能守恒，有

[激活思维] 解答此题的思维活动有：（1）对物体运动的全过程必须逐段进行认真分析，有些力在物体运动的全过程中不是始终存在（2）若物体运动过程中包含几个物理过程，物体运动状况、受力情况均发生变化，因而在考虑外力做功时，必须根据不同情况分别对待。

[自我测评]

一、              单项选择题 

1．在某一足够高处，将一质量为 2 kg 的小球以 4 m/s 的初速度竖直上抛，在有空气阻力的情况下，从开始抛出到小球下落的速度达到 4 m/s 的过程中，外力对小球做的功为（    ）

（A）      0J    （B）8J    （C）16J   （D）32J

   2．一质量为m的物块静止在粗糙的水平面上,如图所示，.若物块受一水平力F作用,通过的位移为s，它的动能为E₁若物块受到水平力2F的作用,通过相同的位移s,它的动能为E₂，则（   ）.

  (A)E₂=E₁   (B)E₂=2E₁  (C)E₂>2E₁  (D)E₁＜E₂＜2E₁                                              

3．质量分别为M和 m 的两个物体( 可视为质点 )，在AB段光滑水平面上相距 l，以相同的速度向右运动，如图它们先后进入表面粗糙的BC段，最后停止运动。如果它们与BC段间的动摩擦因数相同，设静止后两物体间的距离为 s ，则（   ）

（A）      当M ＞m 时，s＞l  

（B）       当M = m 时，s = l   

（C）           当M ＜m 时，0＜s＜l

（D）           无论M、m 取何值，均为 s = 0         

    4．下列说法正确的是：（   ）

(A) 物体在合外力作用下变速运动，动能一定变化

(B) 一对摩擦力做的总功，有可能是一负值，有可能是零

(C) 当作用力作正功时，反作用力一定做负功

(D) 当作用力不作功时，反作用力一定也不作功

    5．有质量分别为、的两个物体在水平面上分别以、的初速度运动，若，那么(   ).

(A) 若它们与平面间动摩擦因数相同,则它们停下来所用时间之比为3：2

(B) 若它们受的阻力相同,则它们停下来的时间的比为4：3

(C) 若它们所受的阻力相同,它们停下来的距离比是4：3

(D)若它们在相同的距离上停下来,它们所受阻力的比为3：4

6．质量为m的小球用长为l的轻绳悬挂于O点,小球在水平力F作用下,从O点的正下方的P点很缓慢地移动到Q点,如图所示,则力F做的功为(     ).

 (A)mglcosθ    (B)mgl(1-cosθ)

(C)Flsinθ      (D)Flcosθ                                         6

7．质量为m的物体以初速度v₀沿水平面向左开始运动。起始点A与一轻弹簧O端相距s，如图所示。已知物体与水平面间的动摩擦因数为，物体与弹簧相碰后，弹簧的最大压缩量为x，则从开始碰撞到弹簧被压缩至最短，物体克服弹簧弹力所做的功为：(   )

(A)(B)

(C)                          (D)

    8．质量分别为和的两只小船静止在湖面上,两船用绳相连接.质量为M的人站在船上,用水平恒力F拉绳,经过一段时间后, 两船的位移大小分别为和,速度大小分别为和,则这段时间内人做的功等于(    ).

①             ② ③)    ④

  A．①②     B．②③     C．③ ④   D．①④

  9．如图所示, 质量相同的物体分别自斜面AC和BC的顶端由静止开始下滑, 物体与两斜面间的动摩擦因数相同, 物体滑至斜面底部C点时的动能分别为E_A和E_B, 下滑过程中, 克服摩擦力所做的功分别为W_A和W_B, 则(    )                          

(A) E_A＜E_B, W_A＞W_B     (B) E_A=E_B, W_A＞W_B                               

(C) E_A＞E_B, W_A=W_B         (D) E_A＞E_B, W_A＜W_B             

     10．图中木板质量为M，长度为L，木块质量为m，大小可不计，水平地面光滑，一根不计质量的轻绳通过定滑轮分别与M和m连接，木块与木板间的动摩因数为μ。开始时木块静止在木板左端，现用水平向右的力将m拉向木板的右端，拉力至少做功（  ）

(A)μmgL               (B)2μmgL (C)μmgl/2              (D)μ(M＋m)gL

 11．连接A、B两点的弧形轨道ACB和ADB形状相同、材料相同,如图所示.一个小物体由A以一定初速度v开始沿ACB轨道到达B的速度为v₁;若由A以相同初速度v沿ADB轨道到达B的速度为v₂. 比较v₁和v₂的大小, 有(    ).

(A)v₁>v₂   (B) v₁=v₂    (C) v₁<v₂     (D)条件不足,无法判定     

12．用铁锤把铁钉打入木板,假设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，已知铁锤第1次将铁钉打入木板1cm,如果第2次铁锤打击铁钉的情况与第1次一样,则第2次铁锤将铁钉打进木板的深度是(    ).

(A)(-1)cm       (B)(-1)cm              (C) ∕2cm     (D) ∕2cm

二、综合题  

13．质量为m的人造卫星，在环绕地球的椭圆轨道上运行，在运行过程中它的最大速度值为V_m，当卫星有远地点运行到近地点的过程中，地球引力对它做的功为W，则卫星在近地点的速度值是_{———————————————}，在远地点的速度值是_{——————————。}

14．如图所示,一辆汽车,由静止开始沿平直公路行驶,当速度达到某一数值后关闭发动机滑行,汽车的速度时间图像如图.则汽车在行驶的整个过程中牵引力做的功为W₁,汽车克服阻力做的功为W₂,则W₁：W₂=____.

15．小球以初速v₀从倾角为q的斜面底端向上滑行，上滑的最大距离为l，小球的质量为m，则小球滑回到原出发点的动能为________。

16．图中ABCD由一段倾斜直轨道和水平直轨道相接, 连接处以一小段圆弧来过渡, 小滑块在A点从静止状态释放, 沿轨道滑下, 最后恰好停在C点, 已知A点的高度是h, A、C之间的水平距离是s. 求滑块与轨道间的动摩擦因数。             

   17．人从一定高度落地容易造成骨折，一般成人胫骨的极限抗压强度约为 1．5 × 10⁸  N/m²，胫骨最小横截面积大多为 3．2cm²。假若一质量为 50000g的人从一定高度直膝双足落地，落地时其重心又约下降 1cm。试计算一下这个高度超过多少时，就会导致胫骨骨折。

[小结]

参考答案：

1．A  2．C  3．D  4．B  5．C  6．B  7．A  8．C  9．C10。A  11。A  12。B

13．V_m ， 14．1：1

15．2mg/sinq－(mv₀²/2)

16．

17．1.9m

镇江一中高一物理备课组