功：如果力作用在物体上，并且物体在力的方向发生了位移（对地）．我们就说力对物体做了功．一般地，高中阶段更多的是讨论恒力做功的情形：如果力与位移在一条直线上，则功的大小；如果力与位移成一定夹角，则可将力沿位移方向及垂直位移方向分解，功的大小决定于沿位移方向的分力及位移的大小．功的正负可根据力的方向与位移方向的关系判断．倘若涉及变力做功，一般要用功、能关系间接求解．

功率：不同物体做功有快慢的差别，可用功跟完成这些功所用时间的比值——功率来描述．若考虑某一段时间内做功的快慢，则叫平均功率；若考虑某一时刻做功的快慢，则叫瞬时功率．交通工具（如汽车、火车、轮船、飞机）等发动机的功率可表示为 P = Fv，其中F指牵引力，v指其瞬时速度（或平均速度）．

[重点难点分析]

重点：1．功的概念及功的计算

2．功率的概念及功率的计算

难点：功和功率的计算

[学习思路]

由功和功率的定义,掌握功、功率的概念及功的计算

[学法指导]

  1.正功和负功

一个物体受到恒力的作用并且在力的方向上发生一段位移，我们就说这个力对物体做了功。如果作用力是恒力，该力所做的功可表述为

W=Fscosα

式中q表示F与s之间的夹角，如图所示。

功是标量。在国际单位制中，功的单位是焦耳，简称焦。1J=1N×1s=1N·s

在功的计算式W=Fscosα中

若α<90°，W为正，力对物体做正功。

若α>90°，W为负，力对物体做负功，或者说物体克服阻力做功。

若α=90°，W=0，力对物体不做功。如在匀速圆周运动中，向心力的方向始终与速度方向垂直，物体在力的方向上的位移始终为零，所以向心力始终不对物体做功。

正功和负功的代数和叫总功，若物体可视为质点，总功等于合外力对物体所做的功。

学习和理解功的概念时要注意的几点

①力和在力的方向的位移是做功的两个不可缺少的因素。有力的作用并不一定该力就做功，如人扛着沉重的箱子在平直路面前进，肩膀对箱子的支持力就始终不做功。

②位移s是指质点移动的位移。

③用W=Fscosα计算功时其中的F应为恒力，即力的大小和方向都不变。

④由于位移与参照系的选取有关，所以功也与参照系有关。计算功时应取静止的物体做参照物，通常以地面做参照。

⑤力对物体做功的过程，就是能量从一种形式转化为另一形式的过程。从这个意义上说：功是能量转换的量度。(功是量度能量转换的基本物理量。)

计算功的几种方法

①公式法。即用W=Fscosα计算功。

②图象法。当力F和位移s在一条直线上时，也可利用图象计算功，

如图(1)所示，图象下所包围的“面积”即表示功的大小。

用图象法还可以计算变力的功，如图(2)所示。图象下所包围的“面积”仍然表示功的大小。s轴上方的“面积”表示正功，s轴下方的“面积”表示负功。总功等于正功与负功的代数和。

③功是能量转换的量度，所以从能量转换的趋向及数值大小也可计算功。

2.功率

功率是描述做功快慢的物理量，它在数值上等于单位时间完成的功。

是功率常用的单位，1千瓦=1000瓦特。1马力=735瓦特。

P_t=F·vcosa

若力和速度在一条直线上，上式可简化为P_t=F·v_t，如：自由落体运动的物体下落t秒时的即时功率为P=mg·v_t=mg·gt=mg²t，t秒内的平均功

由公式P=Fv_t可知，当功率一定时，即时速度越大，则作用力越小；反之，作用力越大，速度越小。汽车上坡时要慢速行驶就是这个原因。

从公式出发，似乎可以得出F→0时，v_t→∞的结论。但实际运行的各种机械都不可能不受阻力，同时机械的各个部件都有一个机械强度的限制，不可能使速度无限制的增大。所以，一般机械(如汽车)在指出最大输出功率的同时都有一个最大速度(如车速)和最大作用力(如牵引力)的限制。

额定功率和实际功率

机械(如发动机)在正常工作时的最大功率叫额定功率，如：一般小轿车的额定功率在90~220马力之间，竞赛汽车发动机的额定功率则可达500~1200马力。这里，“正常工作”是指速度及作用力均不超过最大值的情况。如果载重汽车，车货共重10吨，额定功率为100马力，在平直公路上行驶时，所受最大阻力为车重的0.05倍，则该车所能达到的最大速度为

机械在实际工作时的功率即实际功率不可能总是等于额定功率，如空载的机车其实际功率小于额定功率，超过额定功率时，机械便处于超负荷运行状态，这样会使机械损坏或降低使用寿命。

机械效率

机械输出的有用功与外界输入给机械的总功的比值。即

由于输入的总功与输出的有用功在时间上是对应的，所以上式经常表达为

使用机械总可以获得某种增益或效益。如使用滑轮组可以用较小的力获取较大的力。使用水泵可以把井下的水送上水塔。但是从做功的角度考虑，任何机械都只有“亏损”而无“赢利”，所以机械效率总是小于1。

【警示常见误区】

1.错误的认为做功越多，功率就越大.功率的大小与做功的多少无关，并非是做功越多功率就越大.

2.合外力对物体不做功时，仅能说明物体的动能保持不变，不能够说明物体的动量不变和运动加速度为零.

3.对力做负功认识不清，由于功是标量所以做功的正负表示的是大小或表示力都物体做功或物体克服力做功.

4.相互作用力对物体做功的大小关系是任意的：可同时为正或负，其大小可以是相等或不等.由于相互作用力是作用在两个物体上所以是不能够求和的.

5.物体受到的平衡力在物体做任何运动时，对物体做功总是一正一负代数和为零.

【例题研究】

[同步练习]

［例1］ 如图21---1所示，小物块位于光滑的斜面上，斜面位于光滑的水平地面上．从地上看，在小物块沿斜面下滑的过程中，斜面对小物块的作用力

    A．垂直于接触面，做功为零       B．垂直于接触面，做功不为零

C.不垂直于接触面，做功为零．    D.不垂直于接触面，做功不为零

[思维技巧]本题考察：对弹力及功的概念的理解

小物块由于重力作用而紧压斜面，斜面对小物块将有反作用力——支持力．根据弹力的性质可知，斜面对小物块的支持力总是垂直于斜面．若斜面固定，小物块下滑过程中，斜面对其作用力总与斜面垂直，因而不做功．现在，由于地面光滑，物块沿斜面下滑时，斜面将在地面上滑动，使得小物块在下滑过程中，所受作用力

不再与其位移垂直．如图所示，所以弹力做功不为零．

[答案] B

[激活思维]解答此题的思维活动有（1）力和力的方向上的位移是功的两个要素，其力的方向      

上的位移是指物体对地的位移，因此，本题中弹力的功不为零（2）从另一角度看，在此过程中斜面获得了一定的动能，因为物体对斜面的压力对斜面做了正功，而斜面对物体的支持力做了负功．物体的重力势能一部分转化为物体的动能，另一部分转化为斜面的动能．

［例2］质量为M的长木板放在光滑的水平面上，一个质量为m的滑块以某一速度沿木板表面从A点滑到B点在木板上上前进了L，而木板前进S，如图所示。若滑块与木板间动摩擦因数为μ，求摩擦力对滑块、对木板做功各为多少？

[思维技巧] 本题考察：对功的概念的理解和摩擦力做功的特点

摩擦力是成对出现的，但两物体对地面的位移不同，所以

摩擦力对滑块做功W₁＝－μmg(S＋L)

摩擦力对木板做功W₂＝μmgS

[激活思维] 题目虽小，但却能从中得到

不少启发：（1）同一问题中计算功必须选取          图21----2

同一参照物――地面（2）

S

作用力和反作用力大小相等，但它们所做的功不一定相等（3）摩擦力不一定做负功。

   [例3]如图21---3，水平传送带正以v=2m/s的速度运行， 两端的距离为l=10 m．把一质量为 m=1kg的物体轻轻放到传送带上，物体在传送带的带动下向右运动．如物体与传送带间的动摩擦因数，则把这个物体从传送带左端传送到右端的过程中，摩擦力做功的平均功率有多大？

  [思维技巧] 本题考察：对运动过程的分析和平均功率的正确理解

物体放到传送带上时，相对传送带向左滑行，受到向右的滑动摩擦力，因而向右做初速度为零的匀加速直线运动，当速度增加到传送带运行的速度          

v＝2 m/s时，物体与           

传送带间就不再有相对滑动，也就不再有滑动摩擦力了，物体从此做匀速运动一直到右端．

  [解答] 滑动摩擦力的大小

           N = 1N

    物体在皮带上滑行时加速度的大小

          m/s

    加速到v＝2 m/s过程中运动的位移

           m

所以摩擦力做功

       J

物体从左端运动到右端共经历时间

    6s

所以传送过程中摩擦力的平均功率为

           w

[激活思维]( 1 )如果把题目中的l= 10m改为l = 1m,则物体向右运动的过程一直是加速的过程，摩擦力在物体运动的整个过程中始终存在，即s = 1m,运动时间s,那么摩擦力做功J, 传送过程中摩擦力的平均功率为W.（2）如果题目中未给出具体的l的值，则要分和两种情况进行讨论。

 [例3].物体静止在光滑水平面上，先对物体施一水平向右的恒力F₁，经t秒后撤去F₁，立即再对它施一水平向左的恒力F₂，又经t秒后物体回到出发点，在这一过程中，F₁、F₂分别对物体做的功W₁、W₂间的关系是

        A.W₁=W₂     B.W₂=2W₁     C.W₂=3W₁     D.W₂=5W₁

[解题技巧] 解题思路有(1)由匀变速运动规律、牛顿定律计算两个作用力的大小（2）由功的定义公式计算两个力所做的功并且比较两个功的大小.解题过程：

研究F₁作用t时间内运动，设水平向右方向为正方向，

根据牛顿第二定律，运动加速度为F=ma，a₁=F₁/m，

物体发生的位移s=v₀t+at²/2，s₁=F₁t²/2m，物体的末速度v₁=F₁t/m方向水平向右.

研究F₂作用t时间内运动，同理可得

运动加速度a₂=-F₂/m，位移s₂=v₁t-F₂t²/2m，

物体最后回到出发点则有s₂=-s₁，v₁t-F₂t²/2m=- F₁t²/2m，代入v₁=F₁t/m

F₁t²/m-F₂t²/2m=- F₁t²/2m，整理得F₂=3 F₁

计算做功，由公式W=FScosθ,W₁=F₁s₁，W₂=F₂s₂，由于力的方向与位移方向一致，所以两个力对物体都做正功，

因为F₂=3 F₁，W₂=3 W₁

[答案]C

[警示误区](1)在运动问题的研究中，由于力的方向、位移方向和速度方向都有变化，所以解题中用正负号表示方向不可发生错误（2）在功的计算中虽然物体的运动方向变化，但是对功的计算无影响，如果分段计算F₂的做功，则增加

解题过程其计算结果与一次计算结果相同.

 [例3].人的心脏每跳一次大约输送8×10^-5m³的血液，正常人血压(可看作心脏压送血液的压强)的平均值为1.5×10⁴Pa心跳约每分钟70次，据此估测心脏工作的平均功率约为         W.

[解题技巧] 解题思路有(1)分析研究心脏压送血液时对血液的作用力并且计算所做的功（2）由1分钟内心脏所做的功计算心脏工作的平均功率.解题过程：

做功研究：设血管的横截面积为s₀，血压P₀，则心脏压送血液时对血液的作用力F=P₀ s₀，

心脏每跳一次过程中血液受力发生的位移为S，心脏每跳一次做功W₁=FS= P₀s₀S，式中s₀S为心脏每跳一次输送血液的体积，并且用V表示，则W₁可表示为W₁=P₀V

1分钟内心脏所做的功为W=nW₁，式中n为心脏每分钟跳动次数. W=n P₀V

心脏工作的平均功率P=W/t，代入数值有

P= n P₀V/t=70×1.5×10⁴×8×10^-5/60=1.4W

[答案] P= 1.4 W

[警示误区](1)在研究心脏做功时，需要设血管的横截面积为s₀ 心脏每跳一次血液受力发生的位移为S,（2）由生物知识可得心脏推送血液是间断的，每跳一次输送血液的体积V=s₀S，

 [例4].假设汽车紧急制动后所受的阻力大小与汽车所受重力差不多，当汽车以20m/s的速度行驶时，突然制动，它还能继续滑行的距离约为

A.40m    B.20m    C.10m    D.5m                

[解题技巧] 解题思路有(1)分析汽车在刹车时的受力情况（2）应用动能定理（或能量转化关系）处理汽车刹车时合外力做功与动能的变化.解题过程：设汽车的质量为m，在紧急制动时受到的阻力则可表示为f=mg，如果汽车在制动过程中滑行的位移为s，阻力做功为W=-fs，汽车运动的初速度为v₀，末速度为零，根据动能定理，W_外=ΔE_K

-fs=0-mv₀²/2，

s= mv₀²/(2f)= v₀²/(2g)=20²/20=20m

解二.根据牛顿定律F=ma，汽车刹车时的加速度由摩擦力提供f=-mg，a=-mg/m=-g，

汽车运动的初速度v₀，末速度v_t=0，则汽车刹车时通过的位移s,根据匀变速运动公式v_t²-v₀²=2as，

s= (v_t²-v₀²)/ 2a，代入数值有

s=-v₀²/(-2g)=20²/20=20m

[答案]B

[警示误区](1)解题时应当注意：由于摩擦力的方向与位移方向相反，所以摩擦力对汽车做负功.同时汽车的动能减少.

（2）如果采用牛顿定律进行计算时，注意摩擦力产生的加速度与汽车运动方向相反.

[自我测评]

【课堂练习】

一、单项选择题      

1．如图所示，两物体与地面的动摩擦因数相同，它们的质量也相同．用大小相等的两个力分别作用在两个物体上，方向与水平面的夹角均为，在两物体经过相同位移的过程中，力F对物体所做的功分别是W₁和 W₂，则（ ）

A.. W₁<W₂      B．W₁=W₂

    C．W₁>W₂                D．无法比较

    2．如图所示，质量为m的物体P放在光滑的倾角为的直角劈上，同时用力F向右推劈，使P与劈保持相对静止，当前进的水平位移为s时，劈对P做的功为（ ）

    A．              B．             

    C．    D．

    3．如图21---7所示，利用动滑轮来吊起质量为20 kg的物体，已知拉力F = 120 N，滑轮与绳的质量以及摩擦均不计，物体由静止开始升高lm时，拉力的功率为(g取10m/s² )（  ）

A．200W               B．400W

C．480 W              D．280 W             

4．如图所示，利用倾角为α的传送带把一个质量为m的木箱匀速传送L距离，这时木箱升高h，木箱和传送带始终保持相对静止.在这过程中，下列说法中正确的是（ ）

A．木箱克服摩擦力做功mgh

B．摩擦力对木箱做功为零

C．摩擦力对木箱做功为μmgLcosα，其中μ为动摩擦因数

    D．摩擦力对木箱做功为mgh.

5．起重机的钢索将重物由地面吊到空中某一高度,其速度-时间图像如图21----9(1)所示,则钢索拉力的功率随时间变化的图像可能是图21----9(2)四个图中的(   ).

                         图21----9

6．在水平面上放着一个物体，现在用一个水平外力F，将物体沿一直线从A处缓慢地移到B处，然后再从B处缓慢地移回到A处，如果A，B二处相距s，在这过程中F做的功是(  )

（A）0     (B)  Fs     (C)2Fs       (D)条件不足，无法确定.

7．如图21---10所示，质量为m的滑块放在倾角为θ的斜面体M上，运动过程中滑块与斜面体始终相对静止，下列说法中错误的有(   )

(A)斜面体向右匀速移动距离s，斜面体对滑块滑没有做功

(B)若斜面体向上匀速移动距离s，斜面体对滑块做功mgs

(C)斜面体向左以加速度a移动距离s，斜面体对滑块做的功为mas

    (D)斜面体以加速度a匀加速向下移动距离s，斜面体对滑块做的功为m(g+a)s

8．如图所示，材料相同质量相等的滑块A和B放在水平地面上。力F作用在滑块A上，方向与水平成角。使A，B一起向右运动，位移为s，以下说法正确的是：(   )

(A)摩擦力对A和B所做的功相等

(B)F对A做功和A对B做的功相等

(C)地面对A和B的支持力做的功不相等

(D)A所受的合外力对A做的功与B所受的合外力对B所做的功相等

9．某人用F＝100牛的恒力，通过固定在物体上的滑轮把物体在水平面上移动1米的距离，恒力方向与水平面的夹角θ＝60°，如图所示.在这过程中人做的功是(   )

(A)50J   (B)100J   (C)150J  (D)200

10．如图，一物体以一定的初速沿水平面由A点滑到B点，摩擦力做功为W₁，若该物体从A’沿两斜面滑到B’，摩擦力做的总功为W₂，已知物体与各接触面的摩擦系数均相同，则：  (    )

(A)W₁ =W₂    (B)W₁ >W₂   (C)W₁ <W₂    (D)不能确定W₁、W₂大小关系              

   11．在平直公路上以一般速度匀速行驶的自行车所受阻力约为人和车总重的  0.02倍，骑车人的功率约为（  ）

    A．0.1kw      B。10^-3kw    C． 1kw       D．10kw

12．一水平传送带以恒定速度v向右运动，将质量为m的小物体轻放在它左端，经t秒小物体的速度增为，再经t秒小物体到达右端，则下列说法中错误的是（  ）

    A．摩擦力对小物体先做正功，后做负功

    B．小物体由左端到右端的平均速度为

    C．前t秒内摩擦力对小物体做功为

    D．前t秒内电动机对传送带做功为

13.长为l、高为h质量为m的均匀长方体放在水平桌面上，它跟桌面间的动摩擦因数为μ.开始时长方体的右端面与桌面的边缘相齐，如图所示.现从左端面中心加一水平力推长方体，使其沿桌面缓慢移动，直到长方体下翻为止.在这过程中，水平推力至少做多少功?

14．如图所示，一根质量为M的绳子，绕过一个质量不计、摩擦不计的定滑轮，并且绳的两端连在一起.有一只质量为m的猴子拉着绳子向上爬，由于绳子的运动，猴子始终保持在同一高度不变.试证明从静止开始运动，t秒末猴子的瞬时功率为P＝m²g²t/M.

[小结]

功：如果力作用在物体上，并且物体在力的方向发生了位移（对地）．我们就说力对物体做了功．一般地，高中阶段更多的是讨论恒力做功的情形：如果力与位移在一条直线上，则功的大小；如果力与位移成一定夹角，则可将力沿位移方向及垂直位移方向分解，功的大小决定于沿位移方向的分力及位移的大小．功的正负可根据力的方向与位移方向的关系判断．倘若涉及变力做功，一般要用功、能关系间接求解．

功率：不同物体做功有快慢的差别，可用功跟完成这些功所用时间的比值——功率来描述．若考虑某一段时间内做功的快慢，则叫平均功率；若考虑某一时刻做功的快慢，则叫瞬时功率．交通工具（如汽车、火车、轮船、飞机）等发动机的功率可表示为 P = Fv，其中F指牵引力，v指其瞬时速度（或平均速度）．

参考答案

1．B  2．D  3．C  4．D  5．A  6。C  7。D  8。D  9。C

10。A  .11。A  12。A.

13．μmg(l/2-μh/2)                        

镇江一中高一物理备课组