“运动的合成和分解”方法在这里失效了吗？

江苏省镇江市第一中学何蜀娟

 问题的由来

“运动的合成和分解”方法是处理复杂运动特别是曲线运动时常用的物理方法。但是学生在处理某些带电粒子在磁场中的曲线运动时，遇到了困难，请看下面的例题：

例题1：一个无限大区域的匀强磁场B沿水平方向，一质量为m、电量为+q（重力不计）的粒子在磁场的竖直平面内以O为圆

心、R为半径沿顺时针方向作匀速圆周运动，当粒

子运动到最低点P时，突然加一竖直方向的匀强电

场E，粒子运动到P/点，P/O=2R且水平，如图1所

示，求所加电场的方向及粒子运动到P/点的速率。

分析：若运用“运动的合成和分解”方法来分析该题，认为粒子的曲线运动可以分解为在原竖直平面的洛伦兹力作用下的匀速圆周运动和竖

直方向电场力作用下的初速度为零的匀加速直线运动，如此分析，

粒子的运动在水平方向不应该超过图2中的两竖直线ab和cd所

围的区域，题中所述加一竖直方向的电场可使粒子运动到P/点

（该点超过了两竖直线ab和cd所围的区域）似乎是不可能的，“运动的合成和分解”方法在这里失效了吗？

二、问题的分析

对于该问题若仔细进行分析，则会发现出现问题的原因所在：由于在以前的学习中，运用“运动的合成和分解”方法解决的都是恒力作用下的曲线运动，如物体在重力作用下的平抛运动、带电粒子在匀强电场中的恒定电场力作用下的曲线运动等，这些力都是与物体速度无关的力，而洛伦兹力的大小和方向均随带电粒子速度的大小和方向的改变而改变，这是分析在洛伦兹力和其它力共同作用下的曲线运动时特别要注意的一点。

我们可从以下两个角度对该问题进行分析：

角度1：原来粒子所受的洛伦兹力只是方向发生改变，大小不变，粒子可以做匀速圆周运动。由于洛伦兹力的大小和方向均随带电粒子速度的大小和方向的改变而改变，当加一竖直方向的匀强电场后，电场力对带电粒子做功，改变了粒子速率，从而使洛伦兹力的大小也发生了改变，因此在洛伦兹力作用下的分运动就不是原来的匀速圆周运动了。在这里，“运动的合成和分解”方法照样有效，粒子的曲线运动可以分解为在原竖直平面的洛伦兹力作用下的曲线运动（非匀速圆周运动）和竖直方向电场力作用下的初速度为零的匀加速直线运动，因此对粒子可以从P点运动到P/点也就不难理解了。

角度2：我们也可以把带电粒子受到的洛伦兹力看成是两个洛伦兹力的合力：一个是原来的使带电粒子做匀速圆周运动的洛伦兹力f1；另一个是在电场力作用下物体在竖直方向速率由零增加后，磁场对竖直方向运动的又一个洛伦兹力f2。由左手定则可判断，在竖直方向运动的粒子受洛伦兹力f2沿水平方向，因此物体会在原有两个分运动的基础上向水平方向运动，超出两竖直线ab和cd所围的区域。

解析：由于本题中粒子运动到P/点，即两竖直线ab和cd所围区域的左边，所以由左手定则可判断：带电粒子在电场力作用下的运动速度应竖直向下，由于带电粒子带正电，所以匀强电场方向也应竖直向下。

对粒子从P点到P/点的运动，运用动能定理，有：

-qER=mv2-mv02（1）

在未加电场前，粒子做匀速圆周运动，有：

qv0B=m（2）

解方程（1）和（2），可求得粒子运动到P/点的速率v：

v=

三、类似问题的分析比较

下面，我们再来分析一个类似的问题。

例题2：如图3所示，质量为m、带电量为+q的带电粒子，从坐标原点O沿+y方向以速度v0射入磁感应强度为B的匀强磁场和电场强度为E的匀强电场中，电场和磁场的方向平行于z轴指向+z方向，粒子的重力不计，带电粒子从原点射出后，再次通过z轴时，求：

• z轴上该点离O点多远？
• 带电粒子过z轴上该点时的速度？

分析：带电粒子从O点射出，进入电场和磁场共存

的空间，受竖直向上的电场力和水平方向的洛伦兹力。

带电粒子的运动能否看成在洛伦兹力作用下的在水平面

（xoy平面）内的匀速圆周运动和在电场力作用下的沿

+z方向的初速度为零的匀加速直线运动的两个相互垂直

运动的合成呢？对这个问题的答案是肯定的还是否定的呢？

仔细比较例1与例2，我们会发现两种情况下两力的不同：在例1中，电场与磁场方向不平行，因此磁场会对电场力作用的粒子的分运动再产生一个洛伦兹力，从而使物体受到的总的洛伦兹力发生改变，在变化的洛伦兹力作用下的分运动不再是匀速圆周运动。而在例2中，由于磁场方向与电场方向互相平行，即磁场方向与带电粒子在电场力作用下的分运动的速度方向平行，磁场对粒子在该方向的运动不存在洛伦兹力，所以带电粒子所受的洛伦兹力与原来相同，大小没有变化。或者说沿+z方向的电场力不改变与它垂直的水平面（xoy）平面内圆周运动的速度，粒子所受洛伦兹力大小不变，所以对上述问题的答案是肯定的。

解析：由于带电粒子同时参与两种运动，所以粒子实际上做不等距的螺旋线运动，其螺旋线的轴线与z轴平行，z轴与螺旋线相切。当带电粒子再次过z轴时，设z轴上该点为P，刚好过了一个周期，所以P点离O点的距离是一个周期内粒子沿+z方向加速运动的位移，过P点时的速度可分别就大小和方向加以考虑：+z方向受电场力作用，速度从零增加到vz；+y方向不受电场力作用，洛伦兹力不做功，所以+y方向上分速度仍为v0；P点合速度等于上述两个分速度的矢量和，合速度的方向在yOz平面内。

粒子受洛伦兹力作用，在平行于xoy平面内做匀速圆周运动，其运动周期为：

T=

在+z方向受电场力作用做初速为零的匀加速运动，一个周期T内的位移s为：

s=aT2=

所以，z轴上该点离原点O的距离为

粒子过P点时+z方向分速度vz为：

vz=aT=

+y方向的分速度仍为v0，合速度vP为：

vP=

合速度vP与+y方向的夹角θ为：

tanθ=

θ=arctan

在这个问题中运用了“运动的合成和分解”方法，给本题的思考与解答带来了方便。

综上所述，分析在电场力和洛伦兹力共同作用下的带电粒子的曲线运动问题时，要注意匀强电场与匀强磁场是否平行。若电场与磁场平行，则洛伦兹力作用下的运动仍然是匀速圆周运动，这时运用“运动的合成和分解”方法解决曲线运动问题，往往很方便；若电场与磁场不平行，则粒子所受洛伦兹力的大小不断变化，这时在洛伦兹力作用下的分运动不再是匀速圆周运动了。