万有引力定律公式中的r是两物体质心间的距离吗?

教学研究

万有引力定律公式F=G中的r是两物体质心间的距离吗？

江苏省镇江市第一中学何蜀娟

笔者在进行万有引力定律的教学中，当谈到万有引力定律公式的适用条件时，不少学生会认为，公式中的r可以理解为任意两个物体质心之间的距离。这种观点是怎样产生的？观点正确吗？下面我们就来分析这些问题。

观点提出的依据

按照常规教学，在学习万有引力定律时，往往要讨论该定律的适用条件。笔者向学生介绍了在以下几种情况下，可直接利用万有引力定律的公式求解两物体间的万有引力：

1、万有引力定律的公式适用于计算质点间的万有引力，此时万有引力定律公式中的r就是两质点间的距离。

2、万有引力定律的公式也适用于计算两个质量分布均匀的球体间的相互吸引力，这种情况等效于把球体的质量集中在球心处的质点间的万有引力的计算，式中的r是两个球体球心间的距离。

从这种情况也可以推出以下几个推论：

（1）质量分布是球对称的两个球体之间的万有引力的计算。

（2）质量分布是球对称的两个空心球体之间的万有引力的计算。

（3）质量分布均匀的球壳之间的万有引力的计算。但要注意的是两球壳球心之间的距离必须大于等于两球壳的半径之和。（可以证明：球壳对处于它内部的物体的万有引力为零。）

3、万有引力定律的公式也可以用来计算质量分布均匀（或质量分布是球对称）的球体（或空心球体、或球壳）与球外一个质点间的万有引力的计算，这时的r是质点到球体球心间的距离。

除了上述这些特殊的物体间的万有引力，我们可以直接利用万有引力定律，对于其他物体间的万有引力，我们应该如何计算呢？

对于这个问题的回答，不少学生都认为：一般物体间的万有引力的计算，可以把物体的质量集中于一点，即物体的质心，然后可以直接由万有引力定律公式进行计算，公式中的r就是两物体质心之间的距离。

这种观点正确吗？

对观点的分析

下面我们不妨举一些例子来进行分析讨论。

例1、如图所示，一长度为L的质量不计的轻杆两端固定

有质量均为M的两个小球A、B，在轻杆的垂直平分线上有一

质量为m的小球C，距O点的距离为d。试分析C球受到A、

B两球的万有引力的合力。

正确的做法是：先求出A、B两球分别对C球产生的万有引力的大小F1和F2，然后求出这两个万有引力F1和F2的合力F。

由万有引力定律公式，有

F1=F2=G

所以F=2F1cosθ=2G=2G

若按照质心的观点求解此题，把A、B两球的质量集中于它们的质心即O点，求质心O处的质量为2M的质点对C球的万有引力F/，则由万有引力定律公式有

F/=G

比较F与F/，只有L趋近于零时，F/近似等于F。而在一般情况下，F/>F。可见在这种情况中，不能把A、B两小球的质量集中于它们的质心来求它们对小球C的合力。

对于这道例题我们也可以这样分析：

（1）若使A、B两小球之间的距离L变大，则它们对小球C的万有引力F1、F2的大小都变小。又由于力F1、F2所夹的角度2θ变大，所以F1与F2的合力F变小；但是若把A、B两球的质量集中于质心，求它们对小球C的合力F/，由前面得到的F/的表达式F/=G，容易得到F/与L的大小无关，即F/不变。

（2）若改变小球C到O点之间的距离，使d由零变大，则A、B两小球对小球C的万有引力F1、F2的大小都变小。又由于力F1、F2所夹的角度2θ变小，结合前面得到的合力F的表达式F=2G，容易得到：在d由零逐渐变大的过程中，合力F先大再变小，F有最大值。但是若把A、B两球的质量集中于质心，求它们对小球C的合力F/，由前面得到的F/的表达式F/=G，容易得到F/随d的变大一直在变小。

由上面两点分析可见，在该例中把物体的质量集中于质心来计算物体间的万有引力与正确的方法求出物体间的万有引力不等。

例2、如图所示，有质量为m、半径为R的质量分布均匀的球体A与用同种材料制成的半径为均匀球体B，两球球心相距L，现在在球A

中靠近B球一边与A球相切的挖一个半径为的球形

洞，三个球心在同一条连线上，求挖空后两球间的万有引力。

本题可用填补法来做：设F为实心球A与B球之间的万有引力，F1为被挖去一个球形洞后的A球与B球之间的万有引力，F2为被挖去的球体在未挖去前与B球之间的万有引力。由于实心球A与B球之间的万有引力F应是被挖去一个球形洞后的A球与B球之间的万有引力F1与挖去的那部分球体在未挖去前与B球之间的万有引力F2之和，所以有

F=F1+F2（1）

根据万有引力定律可得

F=G（2）