力的两种平均值

江苏省镇江市第一中学龚保庆（212003）

力是改变物体运动状态的原因。力在空间上的累积是功，效果是改变物体的能量。力在时间上的累积是冲量，效果是改变物质的动量。当力是变力时，计算功和冲量要用力的平均值。即  其中中的是F对位移的平均值，中的是F对时间的平均值。平均值是否都可以通过来计算？笔者在电磁感应复习课中曾遇到一个问题，经过师生之间的激烈讨论，大家对力的平均值计算的两种方法更加清楚。

问题：一水平放置的光滑平行导轨上放一质量为m的金属杆，导轨间距L，导轨的一端连接一阻值为R的电阻，其它电阻不计。磁感应强度为B的匀强磁场垂于导轨平面。现给金属杆一个向右的初速度V_0，然后任其运动，导轨足够长，试求金属杆在导轨上向右移动的最大距离是多少？

[析与解]  这是一个典型的在变力作用下求位移的问题，很自然地想到用动能定理。然而暂时无法说明F_安随位移成线性关系，因此不能求出F_安的平均值。用已学过的知识好像无法解决。另辟溪径，能否用动量定理呢？

设杆在减速过程中的某一时刻速度为V，取一极短时间△t发生了一段极小的位移△x，在△t时间内，磁通量变化Δφ，

Δφ=BLΔx

I=                        金属杆受到的安培力

由于时间极短，可以认为F_安为恒力，选向右方向为正方向，在△t时间内，安培力的冲量为

I=－FΔt  对所有的位移求和可得F_安的总冲量为 

式中x为杆运动的最大距离，对金属杆应用动量定理可得：

过程分析至此，乍看起来该题只能用动量定理求解，不能用动能定理，大部分学生也赞同这个观点。但是极个别学生随意间应用动能定理

且  代入求得   这是巧合还是是必然？一石激起千层浪，同学们热烈讨论。如果是必然，则F与x成线性关系，也就是v与x成线性关系。设位移为x时速度为v，应用上面的推导方法得出：在杆的速度从v₀减到v的过程中应用动量定理

由此可知v随x成线性变化，也就是F与x成线性关系，这样说来，求F_安的做的功就可以用

讨论至此，反过来问：能否用上面研究的力的平均值来计算杆运动的总时间呢？很明显，力与时间不是成线性关系，不能用此法计算平均值。

通过以上分析，同学们对求解函数（F）对自变量（x或t）的累积问题明确了以下道理：如果函数值不变，则；如果变化则要用平均值。只有函数随自变量是线性变化时，求解平均值才可以用来处理。这一点也可以从图象中了解。函数对自变量的累积可视作图象与横轴围成的“面积”，如果函数随自变量是线性关系，则所围图象就是梯形。平均值的意义就是梯形的中位线，才可以用来计算。理解了这一点就可以很快扩展求弹性势能  求电容器的能量1／2qu＝1／2cu²。